Les fonctions logiques universelles

Une fonction est universelle lorsqu'elle permet, à elle seule, d'exprimer les fonctions de base OUI, NON, ET, OU.
Pour une meilleur compréhension de la suite du cours il est préférable d'étudier les propriétés de l'algèbre de Boole et les lois de De Morgan.


Les fonctions universelles

La fonction OU-NON (NOR) est universelle

En nous aidant de la table de vérité, observons les logigrammes suivants et écrivons leurs expressions résultantes :
Fonction a NOR b
table non ou
Les deux entrées de notre fonction NOR étant excitées par la même variable, la table de vérité sera simplifiée. Nous ne tiendrons pas compte des cas ou a b car les deux entrées de notre fonction seront toujours au même niveau.
fonction a nor a explication a nor a
La fonction que nous venons de "fabriquer" est une fonction NON.
Sachant cela nous pouvons écrire que a = a a.
Dans la pratique nous la dessinons et l'utilisons de la manière suivante :
a nor a X = a

Pour obtenir une fonction OUI :

Nous écrivons : a = a a = (a a) (a a).
Nous construisons le logigramme suivant :
oui avec nor
et nous le simplifions pour une utilisation plus pratique :
oui avec nor simple
Pour obtenir une fonction ET :
formule nor et
Nous traçons le logigramme correspondant suivant :
et avec nor
Pour obtenir une fonction OU :
formule nor ou
mais aussi :
formule n°2 nor ou
Nous traçons le logigramme correspondant suivant :
ou avec nor
et nous le simplifions pour une utilisation plus pratique :
OU avec nor simple

Résumé :
La fonction universelle OU-NON (en anglais : NOR contraction de NOT OR) est le complément de la fonction OU.
Pour deux entrées a et b la sortie S vaut :

S = a b
   = a + b
   = ab
Pour transformer une expression en écriture NOR, nous utilisons les expressions :
formule nor resume

La fonction ET-NON (NAND) est universelle

En nous aidant de la table de vérité et de la démarche précédente , nous pouvons écrire les expressions résultantes suivantes :
Fonction a NAND b
table non et
Fonction NON : a = a | a
a nand a X = a
Fonction OUI : a = a | a = (a | a ) | (a | a)
oui avec nand simple
Fonction ET : a ⋅ b = a | b = (a | b) | (a | b)
ET avec nand simple
Fonction OU : a + b = a | b = (a | a) | (b | b)
ou avec nand
La fonction universelle ET-NON (en anglais : NAND contraction de NOT AND) est le complément de la fonction ET.
Pour deux entrées a et b la sortie S vaut :
 
S = a | b
   = a ⋅ b
   = a + b
Pour transformer une expression en écriture NAND, nous utilisons les expressions :
a ⋅ b = a | b    ;   a + b = a | b    ;   a = a | a

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