Lois ou théorème de De Morgan

Auguste De Morgan est reconnu pour sa redécouverte de la loi de dualité entre la somme et le produit, où le contraire d'un agrégat (somme logique) est le composé (produit logique) des contraires des agrégants ; le contraire d'un composé est l'agrégat des contraires des composants.


Compléments logiques

Complément d'une somme logique

Complétons le tableau suivant et comparons les valeurs des fonctions Y1 et Y2.

aba + bY1 = a + ba bY2 = a . b
0001111
0110100
1010010
1110000

(Télécharger l'image du tableau ici)

Conclusion : a + b = a . b

Généralisation : Y = X1 + X2 + X3… + Xn = X1X2X3… ⋅ Xn

Complément d'un produit logique

Complétons le tableau suivant et comparons les valeurs des fonctions Y1 et Y2.

aba ⋅ bY1 = a ⋅ ba bY2 = a + b
0001111
0101101
1001011
1110000

(Télécharger l'image du tableau ici)

Conclusion : a ⋅ b = a + b

Généralisation : Y = X1 ⋅ X2 ⋅ X3… ⋅ Xn = X1 + X2 + X3… + Xn

Résumé

Le théorème de De MORGAN s'exprime par les deux relations :

a + b = a . b

a ⋅ b = a + b

Les simplifications fondamentales des fonctions logiques ET et OU sont dans le tableau suivant.

FonctionSimplifications
ETa ⋅ 0 = 0a ⋅ 1 = aa ⋅ a = aa ⋅ a = 0
OUa + 0 = aa + 1 = 1a + a = aa + a = 1

Voir l'image du tableau ici

Relation entre les opérations NOR et NAND

Nous pouvons démontrer que les opérations NOR et NAND ne sont pas distributives l'une pour l'autre.

Opération Nand

Nous déduisons que : a | (b ↓ c) = a + b + c ;
lire a nand (b nor c) est égal à : a barre ou b ou c .
Démonstration : a nand (b nor c)

Nous déduisons également que : (a | b) ↓ (a | c) = a ⋅ b ⋅ c ;
lire (a nand b) nor (a nand c) est égal à : a et b et c .
Démonstration : (a nand b) nor (a nand c) est égal à : a et b et c

Nous constatons que les expressions a + b + c et a ⋅ b ⋅ c ne sont pas égales ;
il nous suffit de faire a = 0, b = 0, c = 0 pour le constater.

L'opération NAND n'est donc pas distributive par rapport à l'opération NOR.

Opération Nor

Nous déduisons que : a ↓ (b | c) = a ⋅ b ⋅ c ;
lire a nor (b nand c) est égal à : a barre et b et c .
Démonstration : a nor (b nand c) est égal à : a barre et b et c

Nous déduisons également que : (a ↓ b) | (a ↓ c) = a + b + c ;
lire (a nor b) nand (a nor c) est égal à : a ou b ou c .
Démonstration : (a nor b) nand (a nor c) est égal à : a ou b ou c

Nous constatons que les expressions a ⋅ b ⋅ c et a + b + c ne sont pas égales ;
il nous suffit de faire a = 1, b = 0, c = 0 pour le constater.

L'opération NOR n'est donc pas distributive par rapport à l'opération NAND.

Généralisation du théorème de De MORGAN

Si l'inverse de (a nand b) est égal à (a et b) (a | b = a ⋅ b),
et (a barre nor b barre) est équivalent à (a et b) (ab = a ⋅ b),
alors a | b = ab (1).
(voir les déductions détaillées sur l'image suivante).
Démonstration du thérème de De MORGAN pour l'opération nand

De même, si l'inverse de (a nor b) est égal à (a ou b) (a ↓ b = a + b),
et (a barre nand b barre) est équivalent à (a ou b) (a | b = a + b),
alors a ↓ b = a | b (2).
(voir les déductions détaillées sur l'image suivante).
Démonstration du thérème de De MORGAN pour l'opération nor

Conclusion

Les égalités (1) et (2) généralisent le théorème de MORGAN aux opérations NOR et NAND.

a | b = a b

a b = a | b

Les simplifications fondamentales des fonctions logiques NAND et NOR sont représentées dans l'image du tableau suivant.

simplifications des fonctions logiques NAND et NOR

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