Compléments logiques
Complément d'une somme logique
Complétons le tableau suivant et comparons les valeurs des fonctions Y1 et Y2.
| a | b | a + b | Y1 = a + b | a | b | Y2 = a . b |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
(Télécharger l'image du tableau ici)
Conclusion : a + b = a . b
Généralisation : Y = X1 + X2 + X3... + Xn = X1 . X2 . X3... . Xn
Complément d'un produit logique
Complétons le tableau suivant et comparons les valeurs des fonctions Y1 et Y2.
| a | b | a . b | Y1 = a . b | a | b | Y2 = a + b |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
(Télécharger l'image du tableau ici)
Conclusion : a . b = a + b
Généralisation : Y = X1 . X2 . X3... . Xn = X1 + X2 + X3... + Xn
Résumé
Le théorème de De MORGAN s'exprime par les deux relations :
a + b = a . b
a . b = a + b
Les simplifications fondamentales des fonctions logiques ET et OU sont dans le tableau suivant.
| Fonction | Simplifications | |||
|---|---|---|---|---|
| ET | a . 0 = 0 | a . 1 = a | a . a = a | a . a = 0 |
| OU | a + 0 = a | a + 1 = 1 | a + a = a | a + a = 1 |
Voir l'image du tableau ici
Relation entre les opérations NOR et NAND
Nous pouvons démontrer que les opérations NOR et NAND ne sont pas distributives l'une pour l'autre.
Opération Nand
Nous déduisons que : a | (b ↓ c) = a + b + c ;
lire a nand (b nor c) est égal à : a barre ou b ou c .
Nous déduisons également que : (a | b) ↓ (a | c) = a . b . c ;
lire (a nand b) nor (a nand c) est égal à : a et b et c .
Nous constatons que les expressions a + b + c et a . b . c ne sont pas égales ;
il nous suffit de faire a = 0, b = 0, c = 0 pour le constater.
L'opération NAND n'est donc pas distributive par rapport à l'opération NOR.
Opération Nor
Nous déduisons que : a ↓ (b | c) = a . b . c ;
lire a nor (b nand c) est égal à : a barre et b et c .
Nous déduisons également que : (a ↓ b) | (a ↓ c) = a + b + c ;
lire (a nor b) nand (a nor c) est égal à : a ou b ou c .
Nous constatons que les expressions a . b . c et a + b + c ne sont pas égales ;
il nous suffit de faire a = 1, b = 0, c = 0 pour le constater.
L'opération NOR n'est donc pas distributive par rapport à l'opération NAND.
Généralisation du théorème de De MORGAN
Si l'inverse de (a nand b) est égal à (a et b) (a | b = a . b),
et (a barre nor b barre) est équivalent à (a et b) (a ↓ b = a . b),
alors a | b = a ↓ b (1).
(voir les déductions détaillées sur l'image suivante).
De même, si l'inverse de (a nor b) est égal à (a ou b) (a ↓ b = a + b),
et (a barre nand b barre) est équivalent à (a ou b) (a | b = a + b),
alors a ↓ b = a | b (2).
(voir les déductions détaillées sur l'image suivante).
Conclusion
Les égalités (1) et (2) généralisent le théorème de MORGAN aux opérations NOR et NAND.
a | b = a ↓ b
a ↓ b = a | b
Les simplifications fondamentales des fonctions logiques NAND et NOR sont représentées dans l'image du tableau suivant.
