Nous avons vu que les règles de l'algèbre de Boole permettent de simplifier les fonctions ; cette méthode est cependant relativement lourde et ne permet jamais de savoir si l'on aboutit à une expression minimale de la fonction ou pas.

Nous pourrons utiliser la méthode du tableau de Karnaugh.
Dans le cas de deux variables binaires, nous avons quatre possibilités (ou combinaisons) à envisager que nous traduisons sous la forme de la table de vérité suivante :

A chaque combinaison des variables est associée une valeur de la fonction.

L'idée de KARNAUGH est d'associer une surface à chaque combinaison des variables, en adoptant la représentation suivante :

Nous disposons donc de 4 cases correspondant aux 4 combinaisons de variables.

La case 1 correspond à la combinaison    a = 0     b = 0 ==> (a . b )
La case 2 correspond à la combinaison    a = 1     b = 0 ==> (a . b )
La case 3 correspond à la combinaison    a = 0     b = 1 ==> (a . b )
La case 4 correspond à la combinaison    a = 1     b = 1 ==> (a . b )
Dans chacune de ces cases sera inscrite la valeur de la fonction pour la combinaison de variables correspondant à cette case.
En suivant l'exemple déjà représenté ci-dessus nous avons :
case n° 2 ==> combinaison de variables a = 1 et b = 0 ==> valeur de la fonction = 0.

Pour chacune des cases nous associons un produit de variable

Un tableau de Karnaugh peut se représenter sous les formes suivantes :

Ces trois représentations sont équivalentes.

Un tableau de Karnaugh nous renseigne donc sur les données suivantes :

• Le nom de la fonction (par ex : X)
• Le nom des variables (a, b)
• L'état des variables : 0 , 1 ou une barre représentant l'état 1
• La valeur de la fonction (1 ou 0)

Nous notons que :
 
- Dans la case 1 les variables valent toutes 0.
- Si l'on adopte la notation algébrique booléenne pour les variables, elle nous renseigne du nom et de l'état de la variable ( a ; a ).

A chaque case est associé un triplet des valeurs a, b, c.
Exemple : La case n° 1 représentera le triplet {0,0,0} ou a = 0, b = 0 et c = 0.
Nous pouvons dire également que la case n°1 correspond au produit (a . b . c ).
Dans ce cas la représentation devient :

A chaque case est associé un quadruplet des valeurs a, b, c, d.

Exemples :

La case n° 4 représentera le quadruplet {1,0,0,0} ou a = 1, b = 0, c = 0 et d = 0 (a . b . c . d ).
La case n° 11 représentera le quadruplet {1,1,1,1} ou a = 1, b = 1, c = 1 et d = 1 (a . b . c . d ).
La case n° 16 représentera le quadruplet {1,0,1,0} ou a = 1, b = 0, c = 1 et d = 0 (a . b . c . d ).


Adjacences des cases

Dans chaque cas, l'ordre d'écriture des états des variables fait qu'entre deux cases voisines (en ligne ou en colonne) une seule variable change d'état ; on dit de telles cases qu'elles sont adjacentes.


La case 2 correspond à a = 0 ; b = 1 ; c = 0 ; d = 0
La case 3 correspond à a = 1 ; b = 1 ; c = 0 ; d = 0

Lorsque nous passons de 2 à 3, seule la variable "a" change d'état :
2 et 3 sont adjacentes.

Lorsque nous passons de 2 à 1, seule la variable "b" change d'état :
2 et 1 sont adjacentes.

Lorsque nous passons de 2 à 6, seule la variable "d" change d'état :
2 et 6 sont adjacentes.

Enfin, lorsque nous passons de 2 à 14, seule la variable "c" change d'état :
2 et 14 sont adjacentes.

Nous venons de déterminer les adjacences de la case n° 2.
Cette notion de cases adjacentes est fondamentales.

Voir la suite : Ecriture d'une fonction dans un tableau de Karnaugh.

  
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