La base est le nombre qui sert à définir un système de numération.
La base du système décimal est dix alors que celle du système octal est huit.

Quelque soit la base numérique employée, elle suit la relation suivante :

ou : b_i : chiffre de la base de rang i
et : aⁱ : puissance de la base a d'exposant de rang i

Exemple : base 10
1986 = (1 x 10³) + (9 x 10²) + (8 x 10¹) + (6 x 10⁰)

Le système décimal est celui dans lequel nous avons le plus l'habitude d'écrire.
Chaque chiffre peut avoir 10 valeurs différentes :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, de ce fait, le système décimal a pour base 10.
Tout nombre écrit dans le système décimal vérifie la relation suivante :
745 = 7 x 100 + 4 x 10 + 5 x 1
745 = 7 x 10 x 10 + 4 x 10 + 5 x 1
745 = 7 x 10² + 4 x 10¹ + 5 x 10⁰

Chaque chiffre du nombre est à multiplier par une puissance de 10 : c'est ce que l'on nomme le poids du chiffre.

L'exposant de cette puissance est nul pour le chiffre situé le plus à droite et s'accroît d'une unité pour chaque passage à un chiffre vers la gauche.
12 435 = 1 x 10⁴ + 2 x 10³ + 4 x 10² + 3 x 10¹ + 5 x 10⁰ .

Cette façon d'écrire les nombres est appelée système de numération de position.

Dans notre système conventionnel, nous utilisons les puissances de 10 pour pondérer la valeur des chiffres selon leur position, cependant il est possible d'imaginer d'autres systèmes de nombres ayant comme base un nombre entier différent.

Le système octal utilise un système de numération ayant comme base 8 (octal => latin octo = huit).
Il faut noter que dans ce système nous n'aurons plus 10 symboles mais 8 seulement :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Ainsi, un nombre exprimé en base 8 pourra se présenter de la manière suivante :

(745)₈

Lorsque l'on écrit un nombre, il faudra bien préciser la base dans laquelle on l'exprime pour lever les éventuelles indéterminations (745 existe aussi en base 10).
Ainsi le nombre sera mis entre parenthèses (745 dans notre exemple) et indicé d'un nombre représentant sa base (8 est mis en indice).

Cette base obéira aux même règles que la base 10, vue précédemment, ainsi on peut décomposer (745)₈ de la façon suivante :
(745)₈ = 7 x 8² + 4 x 8¹ + 5 x 8⁰
(745)₈ = 7 x 64 + 4 x 8 + 5 x 1
(745)₈ = 448 + 32 + 5

Nous venons de voir que :

(745)₈ = (485)₁₀

Dans le système binaire , chaque chiffre peut avoir 2 valeurs différentes : 0, 1.
De ce fait, le système a pour base 2.
Tout nombre écrit dans ce système vérifie la relation suivante :

(10 110)₂ = 1 x 2⁴ + 0 x 2³ + 1 x 2² + 1 x 2¹ + 0 x 2⁰
(10 110)₂ = 1 x 16 + 0 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1
donc : (10110)₂ = (22)₁₀ .

Tous les systèmes de numération de position obéissent aux règles que nous venons de voir.

Tableau récapitulatif

Voir aussi le code binaire naturel.

Le système hexadécimal utilise les 16 symboles suivant :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
De ce fait, le système a pour base 16.
Un nombre exprimé en base 16 pourra se présenter de la manière suivante :

(5AF)₁₆

La correspondance entre base 2, base 10 et base 16 est indiquée dans le tableau ci-après :

Le nombre (5AF)₁₆ peut se décomposer comme suit :

(5AF)₁₆ = 5 x 16² + A x 16¹ + F x 16⁰

En remplaçant A et F par leur équivalent en base 10, on obtient :
(5AF)₁₆ = 5 x 16² + 10 x 16¹ + 15 x 16⁰
(5AF)₁₆ = 5 x 256 + 10 x 16 + 15 x 1

donc = (5AF)₁₆ = (1455)₁₀

Voir la suite : Convertion et changement de base

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